Date 2. Gunakan Induksi matematik unluk membukhkan bahwa pernyataan berikut mi berlaku untur seliap bilangan aslin. (1^2+a^2+3^2)/(ldots +n^2);(1)/(6)n(n+1)(2n+1)

Question

Pertanyaan

Date 2. Gunakan Induksi matematik unluk membukhkan bahwa pernyataan berikut mi berlaku untur seliap bilangan aslin. (1^2+a^2+3^2)/(ldots +n^2);(1)/(6)n(n+1)(2n+1)

Tampilkan lebih banyak

Answer 1

Pembuktian dengan Induksi Matematika

Kita akan membuktikan pernyataan berikut dengan induksi matematika:

Pernyataan: $\frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2}{}= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ untuk setiap bilangan asli *n*.

Langkah 1: Kasus Dasar

Untuk *n* = 1, pernyataan tersebut benar karena:

$\frac{1^2}{}= \frac{1}{6}(1)(1+1)(2(1)+1)$
$\frac{1}{}= \frac{1}{6}(2)(3)$
$\frac{1}{}= 1$

Langkah 2: Hipotesis Induktif

Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan asli *k*. Artinya:

$\frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2}{}= \frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)$

Langkah 3: Langkah Induktif

Kita perlu menunjukkan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk *n* = *k* + 1. Artinya, kita perlu menunjukkan bahwa:

$\frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + (k+1)^2}{}= \frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)$

Mulailah dengan sisi kiri persamaan:

$\frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + (k+1)^2}{}$

Gunakan hipotesis induktif untuk mengganti bagian pertama dari persamaan:

$\frac{1}{6}k(k+1)(2k+1) + (k+1)^2$

Faktorkan keluar (k+1):

$(k+1)[\frac{1}{6}k(2k+1) + (k+1)]$

Sederhanakan ekspresi di dalam kurung:

$(k+1)[\frac{1}{6}(2k^2 + k + 6k + 6)]$

$(k+1)[\frac{1}{6}(2k^2 + 7k + 6)]$

Faktorkan ekspresi di dalam kurung:

$(k+1)[\frac{1}{6}(k+2)(2k+3)]$

$\frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)$

$\frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)$

Ini adalah sisi kanan persamaan yang ingin kita buktikan.

Kesimpulan

Karena kita telah menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk kasus dasar dan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk *k*, maka pernyataan tersebut juga benar untuk *k* + 1, maka dengan prinsip induksi matematika, pernyataan tersebut benar untuk semua bilangan asli *n*.

Jadi, telah terbukti bahwa $\frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2}{}= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ untuk setiap bilangan asli *n*.

Pertanyaan

Date 2. Gunakan Induksi matematik unluk membukhkan bahwa pernyataan berikut mi berlaku untur seliap bilangan aslin. (1^2+a^2+3^2)/(ldots +n^2);(1)/(6)n(n+1)(2n+1)

Jawaban

Pertanyaan Panas lebih